* 数論考 [#se2d3462]
算術、数学、とにかく数に関するメモ。

#contents

** ピタゴラスの定理（三平方の定理） [#l78e954b]
直角三角形の斜辺の二乗は、他の二辺の二乗の和に等しい。

- &mimetex(x^2 + y^2 = z^2);

もう有名過ぎ。

ピタゴラスは「数には数の論理がある」と説いた。
数は、単にものを数えたり計算したりするために利用されるだけでなく、
数そのものに価値を見出そうとした。

「数」というのは、
我々が目で見て手に触れることのできる世界とは独立に存在すること、
それゆえに、「数」に関する研究は、
知覚につきものの不確かさを免れることができるとした。

** 完全数 [#a6d8f0c8]
…の前に。

- ''自然数''（整数） → 1、2、3 … という数
- ''分数'' → 整数同士の比

ものを1つ2つと数えるときに使うのが自然数。
この自然数と、比を表す分数とをまとめて''有理数''という。

** ピタゴラスの提案 [#a002ff46]
数の完全性は、その''約数''（その数を割って余りが出ない数。つまり割り切れる数。ただし、その数自身は含まない。）によって決まる。

- 約数の総和がその数よりも大きい場合は''過剰数''と呼ぶ。
- 約数の総和がその数よりも小さい場合は''不足数''と呼ぶ。

例えば、12の約数は、1、2、3、4、6。

その総和は16なので、12は過剰数である。

そして、約数の総和がその数自身と同じになる場合、それを''完全数''と呼ぶ。

例えば、6の約数は、1、2、3。

その総和は6（その数自身と同じ）なので、6は完全数である。

6の次に現れる完全数は28。

これらの数は神学的にも都合が良いもので、
例えば、「神は6日で天地を創造された」という話を支持するものだとして、
その時代に歓迎されたようだ。

ちなみに、月は約28日で地球を1周する。（厳密には、27 日 7 時間 43.7 分）

*** 完全数を探せ [#j4eb4930]
28の次は''496''。&br;
その次は''8128''。&br;
その次は''33550336''。&br;
その次は''8589869056''。&br;

その法則性はあるか？実は、こうなっているのだが。

- 6 = 1 + 2 + 3
- 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
- 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + … + 30 + 31
- 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + … + 126 + 127

つまり、完全数は''連続した自然数の和''になっている。
しかし、次に現れる自然数を求める法則というのは、今のところ見つかっていない。

*** 2のべき乗の数 [#j932cf9a]
ピタゴラスは、次のことを発見した。

　''2のべき乗の約数の総和は、常にその数自身より1だけ小さい。''

つまり、こういうこと。

- &mimetex( 2^2 = 4 ); → 約数 1、2 の和は 3。これは 4 - 1
- &mimetex( 2^3 = 8 ); → 約数 1、2、4 の和は 7。これは 8 - 1
- &mimetex( 2^4 = 16 ); → 約数 1、2、4、8 の和は 15。これは 16 - 1

これと完全数との間に関係があるのではないか、
と考えたのは、エウクレイデス（ユークリッド）だった。

- &mimetex( 6 = 2^1 ( 2^2 -1 ) ); 
- &mimetex( 28 = 2^2 ( 2^3 -1 ) ); 
- &mimetex( 496 = 2^4 ( 2^5 -1 ) ); 
- &mimetex( 8128 = 2^6 ( 2^7 -1 ) ); 

ただ、この規則が最後まで成り立つかどうかは証明されていない。
（現在、コンピュータによる探索が続けられている。）

*** 存在しない数 [#jfb5185d]
約数の総和がその数自身よりも1だけ少ない数は、上に述べたとおり2のべき乗の数。

ところで、''約数の総和がその数自身よりも1だけ大きい数は存在しない''。
というか、今のところ発見されていない。
そしてそれが存在しないという証明もすることができていない（今のところ）。

** 数が持つ意味 [#e94829b2]
*** 調和音 [#v6731135]
ピタゴラスは、鍛冶屋の前でハンマーが鉄に打ち下ろされる音を聞いていて、
あることに気付いた。

様々な音が調和して鳴っている（調和音になっている）ところに、
あるハンマーだけがなると、音は調和しなくなる。

これはなぜか調べたところ、音が調和するハンマー同士の重さは、
簡単な数比であらわすことが出来ることがわかった。
あるハンマーに対して、その重さが2分の1、3分の2、
4分の3となっているハンマーの音は調和する。
そのような簡単な数の比であらわせない重さのハンマーは不調和になる。

ピタゴラスはこのようなところに勘を得て、
数と自然現象（数学と自然科学）というのは、
基本的なところでつながっているのだという主張をするようになったという。

*** 河川の距離 [#z3fee7f1]
ケンブリッジ大学のステルム教授（地球学者）は、面白い提言をしている。

曲がりくねった河川の実際の長さと、水源から河口までの直線距離の比をとると、
実際の長さは直線距離の約3倍になるということがわかったという。
実はこの比、大体3.14に近い値、つまり&mimetex(\pi);になるらしい。
つまり、円の直径と円周の長さの比と同じになるというのだ。

実際、様々な自然現象が数で表現されることを鑑みて、
数というのは万物の真理を表すものではないか、という主張は根強い。

そもそも、ピタゴラスの定理が''どんな直角三角形についても成立する''
という事実は、実はかなり驚くべき法則性であるといえる。



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[[自然科学・哲学系メモ]]
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