相対論的宇宙モデル

一般相対論的宇宙モデル †

一般相対論的宇宙モデル

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時空の 3+1 分解 †

一般相対論の4次元時空は、適当に導入された時間座標一定の面にスライスされた3次元空間 $\normalsize \sum_{}(t)$ の時系列として捉える。これを、時空の 3+1分解（正準形式, ADM形式）と呼ぶ。

$\normalsize \sum{}(t)$ 上の計量が

　 $d\sigma^2=h_{ij}dx^i$ 　　　　　( $i,j=1,2,3$ )　･･･（1）

のとき、4次元時空線素は

　 $ds^2=-N^2dt^2+h_{ij}(dx^i+N^idt)(dx^i+N^idt)$ 　･･･（2）

と表せる。4次元計量テンソル10個のうち4つは座標によるパラメトリー化の自由度であり、力学的変数は6個になる。（2）は $h_{ij}$ が6個になるように表現したものである。

時空ダイナミクスを与えるアインシュタイン－ヒルベルト（Einstein-Hilbert）の作用積分は、表面積を除いて

　 $S_G=\frac{1}{{16}{\pi}{G}}\int{N}\sqrt{h}\left[{K^{ij}K_{ij}-K^2+^{(3)}R}\right]d^4x$ 　･･･（3）

と表せる。ここで

　 $K_{ij}=\nabla_iN_j-\nabla_jN_i-\dot h_ij$ 　･･･（4）

は外部曲率と呼ばれ、 $\normalsize \sum{}(t)$ の埋め込みの仕方を与える。

また、 $^{(3)}R$ は $\normalsize \sum{}(t)$ 内でのスカラ曲率である。例えば、円柱面では $^{(2)}R=0$ , $K_{\phi \phi}=\frac{1}{a^2}$ となり、固有曲率 $^{(2)}R$ はゼロだが、3次元空間への埋め込み方に曲率がある（ $K_{\phi \phi}\neq 0$ ）ことを意味する。それに対して、球面では $^{(2)}R=\frac{1}{a^2}$ となり、固有曲率もゼロではない。

（3）のラグランジアンはラプス（lapse） $N$ と $N^i$ の時間微分を含まないので、これら4つの関数はダイナミクスの変数ではないことを意味する。 $N$ と $N^i$ は座標系の選択に応じて決まるゲージ関数ということになる。

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ロバートソン－ウォーカー計量（Robertson-Walker metric） †

宇宙モデルは、一様、等方3次元空間であり、その計量は定曲率空間として次のように表現される。

　 $d\sigma^2=a^2\left[{\frac{dx^2+dy^2+dz^2}{1+\frac{k}{4}r_1^2}}\right]$ 　･･･（5）
　　　　 $=a^2\left[{\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)}\right]$ 　･･･（6）

ここで $r_1^2=(x^2+y^2+z^2)$ , $r=\frac{r_1}{1+\frac{kr_1^2}{4}}$ 。 $k$ は曲率の符号を表し、 $k=1,0,-1$ をとる。 $k=1$ の場合 $r=\sin x$ , $k=-1$ の場合 $r=\sin hx$ として、動径座標 $x$ を導入すると（6）は

　 $d\sigma^2=a^2\left[{dx^2+f^2(x)(d\theta^2+\sin^2\theta\phi^2)}\right]$ 　･･･（7）

と書ける。

$k=1$ で $f(x)=\sin x$ , $k=0$ で $f(x)=x$ , $k=-1$ で $f(x)=\sin hx$ となる。

$h_{hj}=a^2\gamma_{ij}$ と書けば、定曲率空間の曲率は

　 $^{(3)}R_{ijkl}=\frac{k}{a^2}(\gamma_{jl}\gamma_{ik}-\gamma_{jk}\gamma_{il})$ 　･･･（8）

であり、スカラテンソルは $^{(3)}R=\frac{6k}{a^2}$ である。

$N$ を $x^i$ に依存しないようにとれば、 $\normalsize \sum{}(t)$ 上の各点での固有時が同一になるので、そのような $t$ を宇宙時と呼ぶ。また、測地線方程式で $\dot{x_i}=0$ なら $\ddot{x_i}=0$ となるためには $N_i=0$ を取れば良い。 $N_i=0$ ととれば、 $x_i =$ 一定の世界線がテスト粒子の軌跡となり、このような座標系は物質に付随しているので共動座標と呼ぶ。世界時と共動座標を用いて（2）は次のように書ける。

　 $ds^2=-N^2(t)dt^2+a^2(t)(\gamma_{ij}(x)dx^idx^j)$ ･･･（9）

$\gamma_{ij}$ に（5）（6）（7）などと表せる定曲率空間の計量をとり、 $N(t)=1$ にとった計量（9）をロバートソン－ウォーカー計量（Robertson-Walker metrics）（R-W 計量）という。この計量は対称性と座標系の取り方によって決まるもので、一般相対論のダイナミクスは一切使われていない。

座標（7）でのR-W計量を用いて、動径方向 $d\theta=d\phi=0$ での光線の伝播は

　 $ds^2=-dt^2+a^2(t)dx^2=0$ 　･･･（10）

で表せる。動径座標が $x$ だけ離れた光源と観測者の間に $t$ に発射した光が $t_0$ に受信され、 $t+\delta t_0$ に受信されるとすれば、（10）より

　 $\pm x=\int_t^{t_0}\frac{dt}{a(t)}=\int_{t+\delta t}^{t_0+\delta t_0}\frac{dt}{a(t)}$ 　･･･（11）

ゆえに、 $\delta t\ll t$ ならば

　 $\frac{\delta t}{a(t)}=\frac{\delta t_0}{a(t_0)}$ 　･･･（12）

と書ける。

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空間ダイナミクスの運動方程式 †

R-W計量に対して作用積分（3）を書き下せば $K_{ij}=-\dot{h}_{ij}=-2a\dot{a}\gamma_{ij}$ を用いて

　 $S_{G}=\frac{1}{{16}{G}}\int Na^3\left[{3\frac{1}{a^4}(\frac{a\dot{a}}{N})^2+(\frac{3}{a^2}\frac{\dot{a}a}{N})^2+\frac{6k}{a^2}}\right]d^4x$
　　　　 $=\frac{3{V}}{8{\pi}{G}}\int(kNa-\frac{1}{N}\dot{a}^2a)dt$ 　･･･（13）

ここで $V$ は空間座標について積分した体積。

物質として共動座標に静止した媒質を考えたとき

　 $S_m=-V\int a^3\rho dt$ 　･･･（14）

全ラグランジアンは

　 $L=\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{kNa-\frac{1}{N}\dot{a}a}\right]-\rho Na^3$ 　･･･（15）

運動方程式はオイラー－ラグランジュ（Euler-Lagrange）（E-L）方程式

　 $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i})-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ 　･･･（16）

より導かれる。 $q_1=N$ に対しては

　 $\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{ka+\frac{1}{N^2}\dot{a}^2a}\right]-\rho a^3=0$ 　･･･（17）

というハミルトン（Hamilton）の拘束条件が得られる。ここで $N(t)dt\rightarrow dt$ なる新しい時間座標をとれば、

　 $(\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{k}{a^2}=\frac{8\pi}{3}G\rho$ 　･･･（a）

この $N(t)$ をとって、 $q_2=a$ として（16）を用いると

　 $-\frac{3}{8{\pi}{G}}(2\ddot{a}a+\dot{a}^2+k)+3\rho a^2+\frac{d\rho}{da}a^3=0$ 　･･･（18）

となる。ここで $\frac{d\rho}{da}$ の項は熱力学第1法則を断熱過程に用いた式 $d(\rho a^3)+Pd(a^3)=0$ より

　 $\frac{d\rho}{da}+\frac{3(\rho+P)}{a}=0$ 　･･･（19）

であり、これを（18）に代入すると

　 $2\frac{\ddot{a}}{a}+(\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{k}{a^2}=-8{\pi}{G}{P}$ 　･･･（b）

となる。

（b）に（a）を適用すると

　 $\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{4{\pi}{G}}{3}(\rho+3P)$ 　･･･（c）

（a）の右辺をエネルギー項と呼び、左辺第2項を曲率項と呼ぶ。 $\rho+3P>0$ なら原則膨張となる。

物質の典型例として「ダスト」（ $P_d=0$ ）, 「放射」（ $P_r=\frac{\rho_r}{3}$ ）, 「真空」（ $P_v=-\rho_v$ ）を扱い、（19）より、各々

　 $\rho_d\propto a^{-3}$ , $\rho_r\propto a^{-4}$ , $\rho_v=$ 一定　･･･（20）

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スカラ場 †

3次元空間で一様なスカラ場が存在する場合は（14）のかわりに

　 $S_{\phi}=V\int a^3\left[{\frac{\phi^2}{2N}-NV_{\Phi}(\Phi)}\right]dt$ 　･･･（21）

となる。 $V_{\Phi}(\Phi)$ は真空エネルギー。 $N$ および $a$ についてのE-L方程式は、各々

　 $(\frac{\dot{a}}{a})+\frac{k}{a^2}=\frac{8{\pi}{G}}{3}\left[{\frac{1}{2}\Phi^2+V_{\Phi}(\Phi)}\right]$ 　･･･（22）

　 $2(\frac{\ddot{a}}{a})+(\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{k}{a^2}=-8{\pi}{G}\left[{\frac{1}{2}\Phi^2-V_{\Phi}(\Phi)}\right]$ 　･･･（23）

右辺を（a）（b）に対応させると

　 $\Phi^2=\rho+P$ , $V_{\Phi}=\frac{\rho-P}{2}$ 　･･･（24）

また、 $\Phi$ についてのE-L方程式より

　 $\ddot{\Phi}+3\frac{\dot{a}}{a}\dot{\Phi}+V_{\Phi}^\prime(\Phi)=0$ 　･･･（25）

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ホイラー－ドウイット方程式（Wheeler- DeWitt? equation） †

ラグランジアン

　 $L=\frac{3}{8{\pi}{G}}\left[{ka-\dot{a}^2a}\right]+\left[{\frac{\dot{\Phi}^2}{2}-V_{\Phi}}\right]a^3$ 　･･･（26）

からハミルトニアン $H$ を $H=\pi_a \cdot \dot{a}+\pi_{\Phi} \cdot \dot{\Phi}-L$ とすると

　 $H=-\frac{2\pi}{3}{G}\frac{\pi_a^2}{a}-\frac{3}{8{\pi}{G}}ka+\frac{1}{2}\frac{\pi_\Phi^2}{a^3}+V_\Phi a^3$ 　･･･（27）

ここで、 $\pi_i\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$ は運動量。

（17）に対応したハミルトンの拘束条件は $H=0$ のことである。このハミルトニアン $H$ を $\pi_a \rightarrow -\frac{i\hbar\partial}{\partial a}$ , $\pi_{\Phi} \rightarrow -\frac{i\hbar\partial}{\partial\Phi}$ の置き換えを行ってオペレータとみなす。 $\hbar$ はプランク定数。